Mathmatiques niveau lyce : srie 1

I. quations du second degr
1) Solution de l'quation <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>a</mi><msup>
            <mi>x</mi>
            <mn>2</mn>
         </msup>
         <mo>+</mo><mi>b</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>c</mi><mo>=</mo><mn>0</mn>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>  avec <math>
   <semantics>
      <mi>a</mi>
      
   </semantics>
</math>, <math>
   <semantics>
      <mi>b</mi>
      
   </semantics>
</math>, <math>
   <semantics>
      <mi>c</mi>
      
   </semantics>
</math> tant trois rels, <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>a</mi><mo>&ne;</mo><mn>0</mn>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>.

On commence par calculer le discriminant, not<math>
   <semantics>
      <mi>&Delta;</mi>
      
   </semantics>
</math>.

<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>&Delta;</mi><mo>=</mo><msup>
            <mi>b</mi>
            <mn>2</mn>
         </msup>
         <mo>-</mo><mn>4</mn><mi>a</mi><mi>c</mi>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>

3 cas possibles :

a) Si <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>&Delta;</mi><mo>&amp;lt;</mo><mn>0</mn>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>alors l'quation n'admet pas de solution relle.

b) Si <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>&Delta;</mi><mo>=</mo><mn>0</mn>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>alors l'quation admet une solution, appele racine double : <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>x</mi><mo>'</mo><mo>=</mo><mi>x</mi><mo>'</mo><mo>'</mo><mo>=</mo><mo>-</mo><mtext>&ThickSpace;</mtext><mfrac>
            <mi>b</mi>
            <mrow>
               <mn>2</mn><mi>a</mi>
            </mrow>
         </mfrac>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>

c) Si <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>&Delta;</mi><mo>&gt;</mo><mn>0</mn>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>alors l'quation admet deux solutions (ou racines) distinctes :

<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>x</mi><mo>'</mo><mo>=</mo><mfrac>
            <mrow>
               <mo>-</mo><mi>b</mi><mo>-</mo><msqrt>
                  <mrow>
                     <msup>
                        <mi>b</mi>
                        <mn>2</mn>
                     </msup>
                     <mo>-</mo><mn>4</mn><mi>a</mi><mi>c</mi>
                  </mrow>
               </msqrt>
               
            </mrow>
            <mrow>
               <mn>2</mn><mi>a</mi>
            </mrow>
         </mfrac>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>			et		<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>x</mi><mo>'</mo><mo>'</mo><mo>=</mo><mfrac>
            <mrow>
               <mo>-</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><msqrt>
                  <mi>&Delta;</mi>
               </msqrt>
               
            </mrow>
            <mrow>
               <mn>2</mn><mi>a</mi>
            </mrow>
         </mfrac>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>

2) Factorisation d'un trinme du second degr
La forme canonique du trinme <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>f</mi><mrow><mo>(</mo>
            <mi>x</mi>
         <mo>)</mo></mrow>
         <mo>=</mo><mi>a</mi><msup>
            <mi>x</mi>
            <mn>2</mn>
         </msup>
         <mo>+</mo><mi>b</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>c</mi>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>correspond  l'criture suivante :
<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>f</mi><mrow><mo>(</mo>
            <mi>x</mi>
         <mo>)</mo></mrow>
         <mo>=</mo><mi>a</mi><mrow><mo>[</mo> <mrow>
            <msup>
               <mrow>
                  <mrow><mo>(</mo>
                     <mrow>
                        <mi>x</mi><mo>+</mo><mfrac>
                           <mi>b</mi>
                           <mrow>
                              <mn>2</mn><mi>a</mi>
                           </mrow>
                        </mfrac>
                        
                     </mrow>
                  <mo>)</mo></mrow>
                  
               </mrow>
               <mn>2</mn>
            </msup>
            <mo>-</mo><mfrac>
               <mrow>
                  <msup>
                     <mi>b</mi>
                     <mn>2</mn>
                  </msup>
                  <mo>-</mo><mn>4</mn><mi>a</mi><mi>c</mi>
               </mrow>
               <mrow>
                  <mn>4</mn><msup>
                     <mi>a</mi>
                     <mn>2</mn>
                  </msup>
                  
               </mrow>
            </mfrac>
            
         </mrow> <mo>]</mo></mrow>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>
ou encore :
<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>f</mi><mrow><mo>(</mo>
            <mi>x</mi>
         <mo>)</mo></mrow>
         <mo>=</mo><mi>a</mi><mrow><mo>[</mo> <mrow>
            <msup>
               <mrow>
                  <mrow><mo>(</mo>
                     <mrow>
                        <mi>x</mi><mo>+</mo><mfrac>
                           <mi>b</mi>
                           <mrow>
                              <mn>2</mn><mi>a</mi>
                           </mrow>
                        </mfrac>
                        
                     </mrow>
                  <mo>)</mo></mrow>
                  
               </mrow>
               <mn>2</mn>
            </msup>
            <mo>-</mo><mfrac>
               <mi>&Delta;</mi>
               <mrow>
                  <mn>4</mn><msup>
                     <mi>a</mi>
                     <mn>2</mn>
                  </msup>
                  
               </mrow>
            </mfrac>
            
         </mrow> <mo>]</mo></mrow>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>

- Le trinme <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>f</mi><mrow><mo>(</mo>
            <mi>x</mi>
         <mo>)</mo></mrow>
         <mo>=</mo><mi>a</mi><msup>
            <mi>x</mi>
            <mn>2</mn>
         </msup>
         <mo>+</mo><mi>b</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>c</mi>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math> n'est pas factorisable si et seulement si <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>&Delta;</mi><mo>&amp;lt;</mo><mn>0.</mn>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>
- Le trinme <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>f</mi><mrow><mo>(</mo>
            <mi>x</mi>
         <mo>)</mo></mrow>
         <mo>=</mo><mi>a</mi><msup>
            <mi>x</mi>
            <mn>2</mn>
         </msup>
         <mo>+</mo><mi>b</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>c</mi>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>est factorisable si et seulement si<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>&Delta;</mi><mo>&ge;</mo><mn>0</mn>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>, et alors :
- Si <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>&Delta;</mi><mo>&gt;</mo><mn>0</mn>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math> alors : <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>f</mi><mrow><mo>(</mo>
            <mi>x</mi>
         <mo>)</mo></mrow>
         <mo>=</mo><mi>a</mi><msup>
            <mi>x</mi>
            <mn>2</mn>
         </msup>
         <mo>+</mo><mi>b</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>c</mi><mo>=</mo><mi>a</mi><mrow><mo>(</mo>
            <mrow>
               <mi>x</mi><mo>-</mo><mi>x</mi><mo>'</mo>
            </mrow>
         <mo>)</mo></mrow>
         <mrow><mo>(</mo>
            <mrow>
               <mi>x</mi><mo>-</mo><mi>x</mi><mo>'</mo><mo>'</mo>
            </mrow>
         <mo>)</mo></mrow>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>
- Si <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>&Delta;</mi><mo>=</mo><mn>0</mn>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math> alors : <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>f</mi><mrow><mo>(</mo>
            <mi>x</mi>
         <mo>)</mo></mrow>
         <mo>=</mo><mi>a</mi><msup>
            <mi>x</mi>
            <mn>2</mn>
         </msup>
         <mo>+</mo><mi>b</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>c</mi><mo>=</mo><mi>a</mi><msup>
            <mrow>
               <mrow><mo>(</mo>
                  <mrow>
                     <mi>x</mi><mo>-</mo><mi>x</mi><mo>'</mo>
                  </mrow>
               <mo>)</mo></mrow>
               
            </mrow>
            <mn>2</mn>
         </msup>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>

3) Sens de variation de la fonction <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>f</mi><mrow><mo>(</mo>
            <mi>x</mi>
         <mo>)</mo></mrow>
         <mo>=</mo><mi>a</mi><msup>
            <mi>x</mi>
            <mn>2</mn>
         </msup>
         <mo>+</mo><mi>b</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>c</mi>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>
a) Si<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>a</mi><mo>&gt;</mo><mn>0</mn>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>, alors la fonction <math>
   <semantics>
      <mi>f</mi>
      
   </semantics>
</math> est dcroissante sur l'intervalle <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mrow><mo>]</mo> <mrow>
            <mo>-</mo><mtext>&ThickSpace;</mtext><mi>&infin;</mi><mtext>&ThickSpace;</mtext><mo>;</mo><mo>-</mo><mtext>&ThickSpace;</mtext><mfrac>
               <mi>b</mi>
               <mrow>
                  <mn>2</mn><mi>a</mi>
               </mrow>
            </mfrac>
            
         </mrow> <mo>]</mo></mrow>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math> et croissante sur l'intervalle<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mrow> <mo>[</mo> <mrow>
            <mo>-</mo><mtext>&ThickSpace;</mtext><mfrac>
               <mi>b</mi>
               <mrow>
                  <mn>2</mn><mi>a</mi>
               </mrow>
            </mfrac>
            <mtext>&ThickSpace;</mtext><mo>;</mo><mo>+</mo><mtext>&ThickSpace;</mtext><mi>&infin;</mi>
         </mrow> <mo>[</mo> </mrow>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>. La fonction <math>
   <semantics>
      <mi>f</mi>
      
   </semantics>
</math>admet un minimum absolu en <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>x</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mtext>&ThickSpace;</mtext><mfrac>
            <mi>b</mi>
            <mrow>
               <mn>2</mn><mi>a</mi>
            </mrow>
         </mfrac>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>de valeur<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>f</mi><mrow><mo>(</mo>
            <mrow>
               <mo>-</mo><mtext>&ThickSpace;</mtext><mfrac>
                  <mi>b</mi>
                  <mrow>
                     <mn>2</mn><mi>a</mi>
                  </mrow>
               </mfrac>
               
            </mrow>
         <mo>)</mo></mrow>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>.

Tableau de variation
<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mtable>
            <mtr>
               <mtd>
                  <mi>x</mi>
               </mtd>
               <mtd>
                  <mrow>
                     <mo>-</mo><mi>&infin;</mi>
                  </mrow>
               </mtd>
               <mtd>
                  <mrow></mrow>
               </mtd>
               <mtd>
                  <mrow>
                     <mo>-</mo><mfrac>
                        <mi>b</mi>
                        <mrow>
                           <mn>2</mn><mi>a</mi>
                        </mrow>
                     </mfrac>
                     
                  </mrow>
               </mtd>
               <mtd>
                  <mrow></mrow>
               </mtd>
               <mtd>
                  <mrow>
                     <mo>+</mo><mi>&infin;</mi>
                  </mrow>
               </mtd>
            </mtr>
            <mtr>
               <mtd>
                  <mrow>
                     <mi>f</mi><mrow><mo>(</mo>
                        <mi>x</mi>
                     <mo>)</mo></mrow>
                     
                  </mrow>
               </mtd>
               <mtd>
                  <mrow></mrow>
               </mtd>
               <mtd>
                  <mo>&searr;</mo> 
               </mtd>
               <mtd>
                  <mrow></mrow>
               </mtd>
               <mtd>
                  <mo>&nearr;</mo> 
               </mtd>
               <mtd>
                  <mrow></mrow>
               </mtd>
            </mtr>
            
         </mtable>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>



2) Si<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>a</mi><mo>&amp;lt;</mo><mn>0</mn>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>, alors la fonction <math>
   <semantics>
      <mi>f</mi>
      
   </semantics>
</math> est croissante sur l'intervalle <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mrow><mo>]</mo> <mrow>
            <mo>-</mo><mtext>&ThickSpace;</mtext><mi>&infin;</mi><mtext>&ThickSpace;</mtext><mo>;</mo><mo>-</mo><mtext>&ThickSpace;</mtext><mfrac>
               <mi>b</mi>
               <mrow>
                  <mn>2</mn><mi>a</mi>
               </mrow>
            </mfrac>
            
         </mrow> <mo>]</mo></mrow>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math> et dcroissante sur l'intervalle<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mrow> <mo>[</mo> <mrow>
            <mo>-</mo><mtext>&ThickSpace;</mtext><mfrac>
               <mi>b</mi>
               <mrow>
                  <mn>2</mn><mi>a</mi>
               </mrow>
            </mfrac>
            <mtext>&ThickSpace;</mtext><mo>;</mo><mo>+</mo><mtext>&ThickSpace;</mtext><mi>&infin;</mi>
         </mrow> <mo>[</mo> </mrow>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>. La fonction <math>
   <semantics>
      <mi>f</mi>
      
   </semantics>
</math> admet un maximum absolu en <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>x</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mtext>&ThickSpace;</mtext><mfrac>
            <mi>b</mi>
            <mrow>
               <mn>2</mn><mi>a</mi>
            </mrow>
         </mfrac>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>de valeur<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>f</mi><mrow><mo>(</mo>
            <mrow>
               <mo>-</mo><mtext>&ThickSpace;</mtext><mfrac>
                  <mi>b</mi>
                  <mrow>
                     <mn>2</mn><mi>a</mi>
                  </mrow>
               </mfrac>
               
            </mrow>
         <mo>)</mo></mrow>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>.

Tableau de variation
<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mtable>
            <mtr>
               <mtd>
                  <mi>x</mi>
               </mtd>
               <mtd>
                  <mrow>
                     <mo>-</mo><mi>&infin;</mi>
                  </mrow>
               </mtd>
               <mtd>
                  <mrow></mrow>
               </mtd>
               <mtd>
                  <mrow>
                     <mo>-</mo><mfrac>
                        <mi>b</mi>
                        <mrow>
                           <mn>2</mn><mi>a</mi>
                        </mrow>
                     </mfrac>
                     
                  </mrow>
               </mtd>
               <mtd>
                  <mrow></mrow>
               </mtd>
               <mtd>
                  <mrow>
                     <mo>+</mo><mi>&infin;</mi>
                  </mrow>
               </mtd>
            </mtr>
            <mtr>
               <mtd>
                  <mrow>
                     <mi>f</mi><mrow><mo>(</mo>
                        <mi>x</mi>
                     <mo>)</mo></mrow>
                     
                  </mrow>
               </mtd>
               <mtd>
                  <mrow></mrow>
               </mtd>
               <mtd>
                  <mo>&nearr;</mo> 
               </mtd>
               <mtd>
                  <mrow></mrow>
               </mtd>
               <mtd>
                  <mo>&searr;</mo> 
               </mtd>
               <mtd>
                  <mrow></mrow>
               </mtd>
            </mtr>
            
         </mtable>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>

Remarque : <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>&alpha;</mi><mo>=</mo><mfrac>
            <mrow>
               <mi>x</mi><mo>'</mo><mo>+</mo><mi>x</mi><mo>'</mo><mo>'</mo>
            </mrow>
            <mn>2</mn>
         </mfrac>
         <mo>=</mo><mo>-</mo><mfrac>
            <mi>b</mi>
            <mrow>
               <mn>2</mn><mi>a</mi>
            </mrow>
         </mfrac>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>

II. Nombres complexes
1) <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mrow><mo>|</mo> <mrow>
            <mi>z</mi><mo>-</mo><mn>3</mn>
         </mrow> <mo>|</mo></mrow><mo>=</mo><mrow><mo>|</mo> <mrow>
            <mover accent='true'>
               <mi>U</mi>
               <mo stretchy='true'>&amp;macr;</mo>
            </mover>
            <mo>+</mo><mfrac>
               <mi>i</mi>
               <mn>2</mn>
            </mfrac>
            
         </mrow> <mo>|</mo></mrow>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>
<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mo>arg</mo><mrow><mo>(</mo>
            <mrow>
               <mrow><mo>|</mo> <mrow>
                  <mfrac>
                     <mrow>
                        <mover accent='true'>
                           <mrow>
                              <mi>z</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mn>2</mn><mi>i</mi>
                           </mrow>
                           <mo stretchy='true'>&amp;macr;</mo>
                        </mover>
                        <mo>+</mo><mn>4</mn>
                     </mrow>
                     <mrow>
                        <mi>z</mi><mo>+</mo><mover accent='true'>
                           <mrow>
                              <mfrac>
                                 <mn>3</mn>
                                 <mn>2</mn>
                              </mfrac>
                              <mo>-</mo><mn>5</mn><mi>i</mi>
                           </mrow>
                           <mo stretchy='true'>&amp;macr;</mo>
                        </mover>
                        
                     </mrow>
                  </mfrac>
                  
               </mrow> <mo>|</mo></mrow>
            </mrow>
         <mo>)</mo></mrow>
         <mo>=</mo><mfrac>
            <mi>&pi;</mi>
            <mn>6</mn>
         </mfrac>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>

2) Dans certaines conditions, l'quation <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mrow><mo>(</mo>
            <mi>E</mi>
         <mo>)</mo></mrow>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math><math>
   <semantics>
      <mrow>
         <msup>
            <mi>x</mi>
            <mn>3</mn>
         </msup>
         <mo>=</mo><mi>p</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>q</mi>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>, <math>
   <semantics>
      <mi>p</mi>
      
   </semantics>
</math> et <math>
   <semantics>
      <mi>q</mi>
      
   </semantics>
</math> rels donnes, admet le rel <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mroot>
            <mrow>
               <mfrac>
                  <mi>q</mi>
                  <mn>2</mn>
               </mfrac>
               <mo>+</mo><msqrt>
                  <mrow>
                     <mfrac>
                        <mrow>
                           <msup>
                              <mi>q</mi>
                              <mn>2</mn>
                           </msup>
                           
                        </mrow>
                        <mn>4</mn>
                     </mfrac>
                     <mo>-</mo><mfrac>
                        <mrow>
                           <msup>
                              <mi>p</mi>
                              <mn>3</mn>
                           </msup>
                           
                        </mrow>
                        <mrow>
                           <mn>27</mn>
                        </mrow>
                     </mfrac>
                     
                  </mrow>
               </msqrt>
               
            </mrow>
            <mn>3</mn>
         </mroot>
         <mo>+</mo><mroot>
            <mrow>
               <mfrac>
                  <mi>q</mi>
                  <mn>2</mn>
               </mfrac>
               <mo>-</mo><msqrt>
                  <mrow>
                     <mfrac>
                        <mrow>
                           <msup>
                              <mi>q</mi>
                              <mn>2</mn>
                           </msup>
                           
                        </mrow>
                        <mn>4</mn>
                     </mfrac>
                     <mo>-</mo><mfrac>
                        <mrow>
                           <msup>
                              <mi>p</mi>
                              <mn>3</mn>
                           </msup>
                           
                        </mrow>
                        <mrow>
                           <mn>27</mn>
                        </mrow>
                     </mfrac>
                     
                  </mrow>
               </msqrt>
               
            </mrow>
            <mn>3</mn>
         </mroot>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math> comme racine.

3) <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <msup>
            <mi>e</mi>
            <mrow>
               <mi>i</mi><mfrac>
                  <mi>&pi;</mi>
                  <mn>3</mn>
               </mfrac>
               
            </mrow>
         </msup>
         <mo>+</mo><msup>
            <mi>e</mi>
            <mrow>
               <mi>i</mi><mfrac>
                  <mrow>
                     <mn>2</mn><mi>&pi;</mi>
                  </mrow>
                  <mn>3</mn>
               </mfrac>
               
            </mrow>
         </msup>
         <mo>=</mo><msqrt>
            <mn>3</mn>
         </msqrt>
         <mi>i</mi>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>

III. Fonctions
1) <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>I</mi><mo>=</mo><msubsup>
            <mo>&int;</mo>
            <mn>0</mn>
            <mrow>
               <mfrac>
                  <mi>&pi;</mi>
                  <mn>2</mn>
               </mfrac>
               
            </mrow>
         </msubsup>
         <mrow>
            <msup>
               <mi>e</mi>
               <mi>x</mi>
            </msup>
            <mo>sin</mo><mi>x</mi><mi>d</mi><mi>x</mi>
         </mrow>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>
<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <msub>
            <mi>J</mi>
            <mi>n</mi>
         </msub>
         <mo>=</mo><msubsup>
            <mo>&int;</mo>
            <mn>0</mn>
            <mn>1</mn>
         </msubsup>
         <mrow>
            <msup>
               <mi>t</mi>
               <mrow>
                  <mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn>
               </mrow>
            </msup>
            <msup>
               <mi>e</mi>
               <mrow>
                  <mo>-</mo><mi>t</mi>
               </mrow>
            </msup>
            <mi>d</mi><mi>t</mi>
         </mrow>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>

2) <math>
   <semantics>
      <mi>S</mi>
      
   </semantics>
</math>est la sphre de centre <math>
   <semantics>
      <mi>O</mi>
      
   </semantics>
</math> et de rayon<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>R</mi><mo>&gt;</mo><mn>0</mn>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>. Pour tout rel <math>
   <semantics>
      <mi>z</mi>
      
   </semantics>
</math> tel que<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mo>-</mo><mi>R</mi><mo>&le;</mo><mi>z</mi><mo>&le;</mo><mi>R</mi>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>, le plan <math>
   <semantics>
      <mi>&Pscr;</mi>
      
   </semantics>
</math> parallle  <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mrow><mo>(</mo>
            <mrow>
               <mi>O</mi><mi>I</mi><mi>J</mi>
            </mrow>
         <mo>)</mo></mrow>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math> de cote <math>
   <semantics>
      <mi>z</mi>
      
   </semantics>
</math> coupe la sphre <math>
   <semantics>
      <mi>S</mi>
      
   </semantics>
</math> suivant le cercle<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <msub>
            <mi>&Cscr;</mi>
            <mi>z</mi>
         </msub>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>.
L'aire <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>&Ascr;</mi><mrow><mo>(</mo>
            <mi>z</mi>
         <mo>)</mo></mrow>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math> du cercle <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <msub>
            <mi>&Cscr;</mi>
            <mi>z</mi>
         </msub>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math> en fonction de <math>
   <semantics>
      <mi>R</mi>
      
   </semantics>
</math> et <math>
   <semantics>
      <mi>z</mi>
      
   </semantics>
</math>est gale  : <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>&Ascr;</mi><mrow><mo>(</mo>
            <mi>z</mi>
         <mo>)</mo></mrow>
         <mo>=</mo><mi>&pi;</mi><mrow><mo>(</mo>
            <mrow>
               <msup>
                  <mi>R</mi>
                  <mn>2</mn>
               </msup>
               <mo>-</mo><msup>
                  <mi>z</mi>
                  <mn>2</mn>
               </msup>
               
            </mrow>
         <mo>)</mo></mrow>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>
Et, le volume <math>
   <semantics>
      <mi>V</mi>
      
   </semantics>
</math> de la sphre <math>
   <semantics>
      <mi>S</mi>
      
   </semantics>
</math> est donne par l'intgrale : <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>V</mi><mo>=</mo><msubsup>
            <mo>&int;</mo>
            <mrow>
               <mo>-</mo><mi>R</mi>
            </mrow>
            <mi>R</mi>
         </msubsup>
         <mrow>
            <mi>&Ascr;</mi><mrow><mo>(</mo>
               <mi>z</mi>
            <mo>)</mo></mrow>
            <mi>d</mi><mi>z</mi>
         </mrow>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>
On retrouve la formule bien connue : <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>V</mi><mo>=</mo><mfrac>
            <mn>4</mn>
            <mn>3</mn>
         </mfrac>
         <mi>&pi;</mi><msup>
            <mi>R</mi>
            <mn>3</mn>
         </msup>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>

3) <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <munder>
            <mrow>
               <mo>lim</mo>
            </mrow>
            <mrow>
               <mi>h</mi><mo>&rarr;</mo><mn>0</mn>
            </mrow>
         </munder>
         <mfrac>
            <mrow>
               <msup>
                  <mi>e</mi>
                  <mi>h</mi>
               </msup>
               <mo>-</mo><mn>1</mn>
            </mrow>
            <mi>h</mi>
         </mfrac>
         <mo>=</mo><mn>1</mn>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>

4) Montrer que si <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>n</mi><mo>&isinv;</mo><msup>
            <mi>&Nopf;</mi>
            <mo>*</mo>
         </msup>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math> et si<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>x</mi><mo>&gt;</mo><mn>0</mn>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>, alors : <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mfrac>
            <mrow>
               <msup>
                  <mi>e</mi>
                  <mi>x</mi>
               </msup>
               
            </mrow>
            <mrow>
               <msup>
                  <mi>x</mi>
                  <mi>n</mi>
               </msup>
               
            </mrow>
         </mfrac>
         <mo>=</mo><msup>
            <mi>e</mi>
            <mrow>
               <mi>x</mi><mrow><mo>[</mo> <mrow>
                  <mn>1</mn><mo>-</mo><mi>n</mi><mfrac>
                     <mrow>
                        <mo>ln</mo><mi>x</mi>
                     </mrow>
                     <mi>x</mi>
                  </mfrac>
                  
               </mrow> <mo>]</mo></mrow>
            </mrow>
         </msup>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>
En dduire que : <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <munder>
            <mrow>
               <mo>lim</mo>
            </mrow>
            <mrow>
               <mi>x</mi><mo>&rarr;</mo><mo>+</mo><mi>&infin;</mi>
            </mrow>
         </munder>
         <mfrac>
            <mrow>
               <msup>
                  <mi>e</mi>
                  <mi>x</mi>
               </msup>
               
            </mrow>
            <mrow>
               <msup>
                  <mi>x</mi>
                  <mi>n</mi>
               </msup>
               
            </mrow>
         </mfrac>
         <mo>=</mo><mo>+</mo><mi>&infin;</mi>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>

5) Vrifier que, pour tout<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>x</mi><mo>&gt;</mo><mn>0</mn>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>, on a : <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mfrac>
            <mrow>
               <mo>ln</mo><mrow><mo>(</mo>
                  <mi>x</mi>
               <mo>)</mo></mrow>
               
            </mrow>
            <mrow>
               <msup>
                  <mi>x</mi>
                  <mi>n</mi>
               </msup>
               
            </mrow>
         </mfrac>
         <mo>=</mo><mfrac>
            <mn>1</mn>
            <mi>n</mi>
         </mfrac>
         <mtext>&thinsp;</mtext><mfrac>
            <mrow>
               <mo>ln</mo><mrow><mo>(</mo>
                  <mrow>
                     <msup>
                        <mi>x</mi>
                        <mi>n</mi>
                     </msup>
                     
                  </mrow>
               <mo>)</mo></mrow>
               
            </mrow>
            <mrow>
               <msup>
                  <mi>x</mi>
                  <mi>n</mi>
               </msup>
               
            </mrow>
         </mfrac>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>

6) Pour <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>n</mi><mo>&ge;</mo><mn>2</mn>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math> et<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>x</mi><mo>&gt;</mo><mn>0</mn>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>, vrifier que : <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mfrac>
            <mrow>
               <msub>
                  <mi>f</mi>
                  <mi>n</mi>
               </msub>
               <mrow><mo>(</mo>
                  <mi>x</mi>
               <mo>)</mo></mrow>
               <mo>-</mo><msub>
                  <mi>f</mi>
                  <mi>n</mi>
               </msub>
               <mrow><mo>(</mo>
                  <mn>0</mn>
               <mo>)</mo></mrow>
               
            </mrow>
            <mi>x</mi>
         </mfrac>
         <mo>=</mo><msup>
            <mi>e</mi>
            <mrow>
               <mrow><mo>(</mo>
                  <mrow>
                     <mfrac>
                        <mn>1</mn>
                        <mi>n</mi>
                     </mfrac>
                     <mo>-</mo><mn>1</mn>
                  </mrow>
               <mo>)</mo></mrow>
               <mo>ln</mo><mrow><mo>(</mo>
                  <mi>x</mi>
               <mo>)</mo></mrow>
               
            </mrow>
         </msup>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>

7) <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>t</mi><mo>=</mo><mi>K</mi><mrow><mo>(</mo>
            <mrow>
               <msup>
                  <mi>h</mi>
                  <mrow>
                     <mfrac>
                        <mn>5</mn>
                        <mn>2</mn>
                     </mfrac>
                     
                  </mrow>
               </msup>
               <mo>-</mo><msup>
                  <mi>z</mi>
                  <mrow>
                     <mfrac>
                        <mn>5</mn>
                        <mn>2</mn>
                     </mfrac>
                     
                  </mrow>
               </msup>
               
            </mrow>
         <mo>)</mo></mrow>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>avec <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>K</mi><mo>=</mo><mfrac>
            <mrow>
               <mn>2</mn><mi>&pi;</mi>
            </mrow>
            <mn>3</mn>
         </mfrac>
         <mfrac>
            <mrow>
               <msup>
                  <mrow>
                     <mo>tan</mo>
                  </mrow>
                  <mn>2</mn>
               </msup>
               <mi>&alpha;</mi>
            </mrow>
            <mrow>
               <mi>&Ascr;</mi><msqrt>
                  <mrow>
                     <mn>2</mn><mi>g</mi>
                  </mrow>
               </msqrt>
               
            </mrow>
         </mfrac>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>

IV. Matrices
1) Formule du binme de Newton
<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <msup>
            <mrow>
               <mrow><mo>(</mo>
                  <mrow>
                     <mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi>
                  </mrow>
               <mo>)</mo></mrow>
               
            </mrow>
            <mi>n</mi>
         </msup>
         <mo>=</mo><msup>
            <mi>a</mi>
            <mi>n</mi>
         </msup>
         <mo>+</mo><mrow><mo>(</mo>
            <mrow>
               <mtable>
                  <mtr>
                     <mtd>
                        <mi>n</mi>
                     </mtd>
                  </mtr>
                  <mtr>
                     <mtd>
                        <mn>1</mn>
                     </mtd>
                  </mtr>
                  
               </mtable>
               
            </mrow>
         <mo>)</mo></mrow>
         <msup>
            <mi>a</mi>
            <mrow>
               <mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn>
            </mrow>
         </msup>
         <mi>b</mi><mo>+</mo><mrow><mo>(</mo>
            <mrow>
               <mtable>
                  <mtr>
                     <mtd>
                        <mi>n</mi>
                     </mtd>
                  </mtr>
                  <mtr>
                     <mtd>
                        <mn>2</mn>
                     </mtd>
                  </mtr>
                  
               </mtable>
               
            </mrow>
         <mo>)</mo></mrow>
         <msup>
            <mi>a</mi>
            <mrow>
               <mi>n</mi><mo>-</mo><mn>2</mn>
            </mrow>
         </msup>
         <msup>
            <mi>b</mi>
            <mn>2</mn>
         </msup>
         <mo>+</mo><mi>&ctdot;</mi><mo>+</mo><mrow><mo>(</mo>
            <mrow>
               <mtable>
                  <mtr>
                     <mtd>
                        <mi>n</mi>
                     </mtd>
                  </mtr>
                  <mtr>
                     <mtd>
                        <mrow>
                           <mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn>
                        </mrow>
                     </mtd>
                  </mtr>
                  
               </mtable>
               
            </mrow>
         <mo>)</mo></mrow>
         <mi>a</mi><msup>
            <mi>b</mi>
            <mrow>
               <mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn>
            </mrow>
         </msup>
         <mo>+</mo><msup>
            <mi>b</mi>
            <mi>n</mi>
         </msup>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>
ou encore : <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <msup>
            <mrow>
               <mrow><mo>(</mo>
                  <mrow>
                     <mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi>
                  </mrow>
               <mo>)</mo></mrow>
               
            </mrow>
            <mi>n</mi>
         </msup>
         <mo>=</mo><munderover>
            <mo>&sum;</mo>
            <mrow>
               <mi>k</mi><mo>=</mo><mn>0</mn>
            </mrow>
            <mi>n</mi>
         </munderover>
         <mrow>
            <mrow><mo>(</mo>
               <mrow>
                  <mtable>
                     <mtr>
                        <mtd>
                           <mi>n</mi>
                        </mtd>
                     </mtr>
                     <mtr>
                        <mtd>
                           <mi>k</mi>
                        </mtd>
                     </mtr>
                     
                  </mtable>
                  
               </mrow>
            <mo>)</mo></mrow>
            <msup>
               <mi>a</mi>
               <mrow>
                  <mi>n</mi><mo>-</mo><mi>k</mi>
               </mrow>
            </msup>
            <msup>
               <mi>b</mi>
               <mi>k</mi>
            </msup>
            
         </mrow>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>

<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mrow><mo>(</mo>
            <mrow>
               <mtable>
                  <mtr>
                     <mtd>
                        <mi>p</mi>
                     </mtd>
                  </mtr>
                  <mtr>
                     <mtd>
                        <mi>n</mi>
                     </mtd>
                  </mtr>
                  
               </mtable>
               
            </mrow>
         <mo>)</mo></mrow>
         <mo>=</mo><mrow><mo>(</mo>
            <mrow>
               <mtable>
                  <mtr>
                     <mtd>
                        <mrow>
                           <mi>p</mi><mo>-</mo><mn>1</mn>
                        </mrow>
                     </mtd>
                  </mtr>
                  <mtr>
                     <mtd>
                        <mrow>
                           <mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn>
                        </mrow>
                     </mtd>
                  </mtr>
                  
               </mtable>
               
            </mrow>
         <mo>)</mo></mrow>
         <mo>+</mo><mrow><mo>(</mo>
            <mrow>
               <mtable>
                  <mtr>
                     <mtd>
                        <mi>p</mi>
                     </mtd>
                  </mtr>
                  <mtr>
                     <mtd>
                        <mrow>
                           <mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn>
                        </mrow>
                     </mtd>
                  </mtr>
                  
               </mtable>
               
            </mrow>
         <mo>)</mo></mrow>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>

2) Soit la matrice<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>A</mi><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo>
            <mrow>
               <mtable>
                  <mtr>
                     <mtd>
                        <mn>3</mn>
                     </mtd>
                     <mtd>
                        <mn>5</mn>
                     </mtd>
                  </mtr>
                  <mtr>
                     <mtd>
                        <mn>1</mn>
                     </mtd>
                     <mtd>
                        <mn>2</mn>
                     </mtd>
                  </mtr>
                  
               </mtable>
               
            </mrow>
         <mo>)</mo></mrow>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>. Trouvez la matrice <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>B</mi><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo>
            <mrow>
               <mtable>
                  <mtr>
                     <mtd>
                        <mi>a</mi>
                     </mtd>
                     <mtd>
                        <mi>b</mi>
                     </mtd>
                  </mtr>
                  <mtr>
                     <mtd>
                        <mi>c</mi>
                     </mtd>
                     <mtd>
                        <mi>d</mi>
                     </mtd>
                  </mtr>
                  
               </mtable>
               
            </mrow>
         <mo>)</mo></mrow>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math> telle que<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>A</mi><mo>&times;</mo><mi>B</mi><mo>=</mo><msub>
            <mi>I</mi>
            <mn>2</mn>
         </msub>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>.
<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>A</mi><mo>&times;</mo><mi>B</mi><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo>
            <mrow>
               <mtable>
                  <mtr>
                     <mtd>
                        <mn>3</mn>
                     </mtd>
                     <mtd>
                        <mn>5</mn>
                     </mtd>
                  </mtr>
                  <mtr>
                     <mtd>
                        <mn>1</mn>
                     </mtd>
                     <mtd>
                        <mn>2</mn>
                     </mtd>
                  </mtr>
                  
               </mtable>
               
            </mrow>
         <mo>)</mo></mrow>
         <mo>&times;</mo><mrow><mo>(</mo>
            <mrow>
               <mtable>
                  <mtr>
                     <mtd>
                        <mi>a</mi>
                     </mtd>
                     <mtd>
                        <mi>b</mi>
                     </mtd>
                  </mtr>
                  <mtr>
                     <mtd>
                        <mi>c</mi>
                     </mtd>
                     <mtd>
                        <mi>d</mi>
                     </mtd>
                  </mtr>
                  
               </mtable>
               
            </mrow>
         <mo>)</mo></mrow>
         <mo>=</mo><mrow><mo>(</mo>
            <mrow>
               <mtable>
                  <mtr>
                     <mtd>
                        <mrow>
                           <mn>3</mn><mi>a</mi><mo>+</mo><mn>5</mn><mi>c</mi>
                        </mrow>
                     </mtd>
                     <mtd>
                        <mrow>
                           <mn>3</mn><mi>b</mi><mo>+</mo><mn>5</mn><mi>d</mi>
                        </mrow>
                     </mtd>
                  </mtr>
                  <mtr>
                     <mtd>
                        <mrow>
                           <mi>a</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>c</mi>
                        </mrow>
                     </mtd>
                     <mtd>
                        <mrow>
                           <mi>b</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>d</mi>
                        </mrow>
                     </mtd>
                  </mtr>
                  
               </mtable>
               
            </mrow>
         <mo>)</mo></mrow>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>
On doit avoir<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>A</mi><mo>&times;</mo><mi>B</mi><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo>
            <mrow>
               <mtable>
                  <mtr>
                     <mtd>
                        <mn>1</mn>
                     </mtd>
                     <mtd>
                        <mn>0</mn>
                     </mtd>
                  </mtr>
                  <mtr>
                     <mtd>
                        <mn>0</mn>
                     </mtd>
                     <mtd>
                        <mn>1</mn>
                     </mtd>
                  </mtr>
                  
               </mtable>
               
            </mrow>
         <mo>)</mo></mrow>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>, donc :
<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mrow><mo>{</mo> <mtable columnalign='left'>
            <mtr>
               <mtd>
                  <mn>3</mn><mi>a</mi><mo>+</mo><mn>5</mn><mi>c</mi><mo>=</mo><mn>1</mn>
               </mtd>
            </mtr>
            <mtr>
               <mtd>
                  <mi>a</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>c</mi><mo>=</mo><mn>0</mn>
               </mtd>
            </mtr>
            <mtr>
               <mtd>
                  <mn>3</mn><mi>b</mi><mo>+</mo><mn>5</mn><mi>d</mi><mo>=</mo><mn>0</mn>
               </mtd>
            </mtr>
            <mtr>
               <mtd>
                  <mi>b</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>d</mi><mo>=</mo><mn>1</mn>
               </mtd>
            </mtr>
         </mtable>
          </mrow>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>
On trouve : <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>a</mi><mo>=</mo><mn>2</mn>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>, <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>b</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>5</mn>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>, <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>c</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>1</mn>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math> et<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>d</mi><mo>=</mo><mn>3</mn>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>.
On dit que la matrice <math>
   <semantics>
      <mi>A</mi>
      
   </semantics>
</math> est inversible, et : <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <msup>
            <mi>A</mi>
            <mrow>
               <mo>-</mo><mn>1</mn>
            </mrow>
         </msup>
         <mo>=</mo><mrow><mo>(</mo>
            <mrow>
               <mtable>
                  <mtr>
                     <mtd>
                        <mn>2</mn>
                     </mtd>
                     <mtd>
                        <mrow>
                           <mo>-</mo><mn>5</mn>
                        </mrow>
                     </mtd>
                  </mtr>
                  <mtr>
                     <mtd>
                        <mrow>
                           <mo>-</mo><mn>1</mn>
                        </mrow>
                     </mtd>
                     <mtd>
                        <mn>3</mn>
                     </mtd>
                  </mtr>
                  
               </mtable>
               
            </mrow>
         <mo>)</mo></mrow>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>

3) Prciser les inverses des matrices suivantes :
<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>A</mi><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo>
            <mrow>
               <mtable>
                  <mtr>
                     <mtd>
                        <mn>1</mn>
                     </mtd>
                     <mtd>
                        <mn>2</mn>
                     </mtd>
                     <mtd>
                        <mn>3</mn>
                     </mtd>
                  </mtr>
                  <mtr>
                     <mtd>
                        <mn>0</mn>
                     </mtd>
                     <mtd>
                        <mrow>
                           <mo>-</mo><mn>5</mn>
                        </mrow>
                     </mtd>
                     <mtd>
                        <mn>1</mn>
                     </mtd>
                  </mtr>
                  <mtr>
                     <mtd>
                        <mn>0</mn>
                     </mtd>
                     <mtd>
                        <mn>0</mn>
                     </mtd>
                     <mtd>
                        <mrow>
                           <mo>-</mo><mn>2</mn>
                        </mrow>
                     </mtd>
                  </mtr>
                  
               </mtable>
               
            </mrow>
         <mo>)</mo></mrow>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>		<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>B</mi><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo>
            <mrow>
               <mtable>
                  <mtr>
                     <mtd>
                        <mn>1</mn>
                     </mtd>
                     <mtd>
                        <mrow>
                           <mfrac>
                              <mn>2</mn>
                              <mn>5</mn>
                           </mfrac>
                           
                        </mrow>
                     </mtd>
                     <mtd>
                        <mrow>
                           <mfrac>
                              <mrow>
                                 <mn>17</mn>
                              </mrow>
                              <mrow>
                                 <mn>10</mn>
                              </mrow>
                           </mfrac>
                           
                        </mrow>
                     </mtd>
                  </mtr>
                  <mtr>
                     <mtd>
                        <mn>0</mn>
                     </mtd>
                     <mtd>
                        <mrow>
                           <mo>-</mo><mfrac>
                              <mn>1</mn>
                              <mn>5</mn>
                           </mfrac>
                           
                        </mrow>
                     </mtd>
                     <mtd>
                        <mrow>
                           <mo>-</mo><mfrac>
                              <mn>1</mn>
                              <mrow>
                                 <mn>10</mn>
                              </mrow>
                           </mfrac>
                           
                        </mrow>
                     </mtd>
                  </mtr>
                  <mtr>
                     <mtd>
                        <mn>0</mn>
                     </mtd>
                     <mtd>
                        <mn>0</mn>
                     </mtd>
                     <mtd>
                        <mrow>
                           <mo>-</mo><mfrac>
                              <mn>1</mn>
                              <mn>2</mn>
                           </mfrac>
                           
                        </mrow>
                     </mtd>
                  </mtr>
                  
               </mtable>
               
            </mrow>
         <mo>)</mo></mrow>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>

4) <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mmultiscripts>
            <mrow>
               <mrow><mo>(</mo>
                  <mrow>
                     <mi>A</mi><mo>&times;</mo><mi>B</mi>
                  </mrow>
               <mo>)</mo></mrow>
               
            </mrow>
            <mprescripts/>
            <none/>
            <mi>t</mi>
         </mmultiscripts>
         <mo>=</mo><mmultiscripts>
            <mi>B</mi>
            <mprescripts/>
            <none/>
            <mi>t</mi>
         </mmultiscripts>
         <mo>&times;</mo><mmultiscripts>
            <mi>A</mi>
            <mprescripts/>
            <none/>
            <mi>t</mi>
         </mmultiscripts>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>

V. Gomtrie
1) <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mover accent='true'>
            <mi>u</mi>
            <mo stretchy='true'>&xrarr;</mo>
         </mover>
         <mrow><mo>(</mo>
            <mrow>
               <mfrac>
                  <mn>3</mn>
                  <mrow>
                     <mn>4</mn><mo>+</mo><mn>3</mn>
                  </mrow>
               </mfrac>
               <mo>;</mo><mfrac>
                  <mn>6</mn>
                  <mn>7</mn>
               </mfrac>
               <mo>;</mo><mfrac>
                  <mn>2</mn>
                  <mn>7</mn>
               </mfrac>
               
            </mrow>
         <mo>)</mo></mrow>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>	<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mover accent='true'>
            <mi>v</mi>
            <mo stretchy='true'>&xrarr;</mo>
         </mover>
         <mrow><mo>(</mo>
            <mrow>
               <mfrac>
                  <mn>6</mn>
                  <mn>7</mn>
               </mfrac>
               <mo>;</mo><mo>-</mo><mfrac>
                  <mn>2</mn>
                  <mn>7</mn>
               </mfrac>
               <mo>;</mo><mo>-</mo><mfrac>
                  <mn>3</mn>
                  <mn>7</mn>
               </mfrac>
               
            </mrow>
         <mo>)</mo></mrow>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>	<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mover accent='true'>
            <mi>w</mi>
            <mo stretchy='true'>&xrarr;</mo>
         </mover>
         <mrow><mo>(</mo>
            <mrow>
               <mfrac>
                  <mn>2</mn>
                  <mn>7</mn>
               </mfrac>
               <mo>;</mo><mo>-</mo><mfrac>
                  <mn>3</mn>
                  <mn>7</mn>
               </mfrac>
               <mo>;</mo><mfrac>
                  <mn>6</mn>
                  <mn>7</mn>
               </mfrac>
               
            </mrow>
         <mo>)</mo></mrow>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>

Calculer <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mover accent='true'>
            <mi>u</mi>
            <mo stretchy='true'>&xrarr;</mo>
         </mover>
         <mo>&cdot;</mo><mover accent='true'>
            <mi>v</mi>
            <mo stretchy='true'>&xrarr;</mo>
         </mover>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math> et <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mover accent='true'>
            <mi>z</mi>
            <mo stretchy='true'>&xrarr;</mo>
         </mover>
         <mo>=</mo><mover accent='true'>
            <mi>v</mi>
            <mo stretchy='true'>&xrarr;</mo>
         </mover>
         <mo displaystyle='false'>&wedge;</mo><mover accent='true'>
            <mi>w</mi>
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