Mathmatiques niveau collge

I. quations
1) quations "simples"
<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mfrac>
            <mi>x</mi>
            <mn>7</mn>
         </mfrac>
         <mo>-</mo><mn>7</mn><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>1</mn>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>						<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mfrac>
            <mrow>
               <mn>1</mn><mo>-</mo><mi>x</mi>
            </mrow>
            <mn>3</mn>
         </mfrac>
         <mo>=</mo><mn>2</mn>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>
<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mn>0<mo>,</mo>7</mn><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>2<mo>,</mo>1</mn><mo>=</mo><mn>1<mo>,</mo>4</mn><mrow><mo>(</mo>
            <mrow>
               <mi>x</mi><mo>+</mo><mn>2</mn>
            </mrow>
         <mo>)</mo></mrow>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>				<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mn>9<mo>,</mo>1</mn><mi>x</mi><mo>=</mo><mfrac>
            <mrow>
               <mn>3<mo>,</mo>12</mn><mi>x</mi>
            </mrow>
            <mn>6</mn>
         </mfrac>
         <mo>+</mo><mn>4<mo>,</mo>62</mn>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>
<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mfrac>
            <mn>1</mn>
            <mn>2</mn>
         </mfrac>
         <mrow><mo>(</mo>
            <mrow>
               <mfrac>
                  <mi>x</mi>
                  <mn>2</mn>
               </mfrac>
               <mo>-</mo><mn>1</mn>
            </mrow>
         <mo>)</mo></mrow>
         <mo>=</mo><mfrac>
            <mn>1</mn>
            <mn>4</mn>
         </mfrac>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>						<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mfrac>
            <mi>x</mi>
            <mn>6</mn>
         </mfrac>
         <mo>-</mo><mfrac>
            <mi>x</mi>
            <mn>2</mn>
         </mfrac>
         <mo>=</mo><mfrac>
            <mn>7</mn>
            <mn>3</mn>
         </mfrac>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>
<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mfrac>
            <mn>2</mn>
            <mn>5</mn>
         </mfrac>
         <mi>x</mi><mo>+</mo><mfrac>
            <mn>1</mn>
            <mn>3</mn>
         </mfrac>
         <mo>=</mo><mfrac>
            <mn>3</mn>
            <mn>5</mn>
         </mfrac>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>						<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mfrac>
            <mrow>
               <mi>x</mi><mo>-</mo><mn>1</mn>
            </mrow>
            <mn>2</mn>
         </mfrac>
         <mo>+</mo><mfrac>
            <mrow>
               <mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn>
            </mrow>
            <mn>3</mn>
         </mfrac>
         <mo>=</mo><mn>4</mn>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>

2) quations produits
Soit<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>E</mi><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo>
            <mrow>
               <mn>4</mn><msup>
                  <mi>x</mi>
                  <mn>2</mn>
               </msup>
               <mo>-</mo><mn>1</mn>
            </mrow>
         <mo>)</mo></mrow>
         <mo>+</mo><mn>2</mn><mrow><mo>(</mo>
            <mrow>
               <mn>4</mn><msup>
                  <mi>x</mi>
                  <mn>2</mn>
               </msup>
               <mo>+</mo><mn>4</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn>
            </mrow>
         <mo>)</mo></mrow>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>.
a) Factoriser<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mn>4</mn><msup>
            <mi>x</mi>
            <mn>2</mn>
         </msup>
         <mo>-</mo><mn>1</mn>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>, puis<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mn>4</mn><msup>
            <mi>x</mi>
            <mn>2</mn>
         </msup>
         <mo>+</mo><mn>4</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>.
b) En dduire une factorisation de<math>
   <semantics>
      <mi>E</mi>
      
   </semantics>
</math>.
c) Rsoudre l'quation : <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mrow><mo>(</mo>
            <mrow>
               <mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn>
            </mrow>
         <mo>)</mo></mrow>
         <mrow><mo>(</mo>
            <mrow>
               <mn>6</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn>
            </mrow>
         <mo>)</mo></mrow>
         <mo>=</mo><mn>0</mn>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>

Solution
a) <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mn>4</mn><msup>
            <mi>x</mi>
            <mn>2</mn>
         </msup>
         <mo>-</mo><mn>1</mn><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo>
            <mrow>
               <mn>2</mn><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>1</mn>
            </mrow>
         <mo>)</mo></mrow>
         <mrow><mo>(</mo>
            <mrow>
               <mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn>
            </mrow>
         <mo>)</mo></mrow>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>
<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mn>4</mn><msup>
            <mi>x</mi>
            <mn>2</mn>
         </msup>
         <mo>+</mo><mn>4</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>=</mo><msup>
            <mrow>
               <mrow><mo>(</mo>
                  <mrow>
                     <mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn>
                  </mrow>
               <mo>)</mo></mrow>
               
            </mrow>
            <mn>2</mn>
         </msup>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>

b) <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>E</mi><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo>
            <mrow>
               <mn>2</mn><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>1</mn>
            </mrow>
         <mo>)</mo></mrow>
         <mrow><mo>(</mo>
            <mrow>
               <mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn>
            </mrow>
         <mo>)</mo></mrow>
         <mo>+</mo><mn>2</mn><msup>
            <mrow>
               <mrow><mo>(</mo>
                  <mrow>
                     <mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn>
                  </mrow>
               <mo>)</mo></mrow>
               
            </mrow>
            <mn>2</mn>
         </msup>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>
<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>E</mi><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo>
            <mrow>
               <mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn>
            </mrow>
         <mo>)</mo></mrow>
         <mrow><mo>[</mo> <mrow>
            <mrow><mo>(</mo>
               <mrow>
                  <mn>2</mn><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>1</mn>
               </mrow>
            <mo>)</mo></mrow>
            <mo>+</mo><mn>2</mn><mrow><mo>(</mo>
               <mrow>
                  <mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn>
               </mrow>
            <mo>)</mo></mrow>
            
         </mrow> <mo>]</mo></mrow><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo>
            <mrow>
               <mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn>
            </mrow>
         <mo>)</mo></mrow>
         <mrow><mo>(</mo>
            <mrow>
               <mn>2</mn><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>4</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>2</mn>
            </mrow>
         <mo>)</mo></mrow>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>
<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>E</mi><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo>
            <mrow>
               <mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn>
            </mrow>
         <mo>)</mo></mrow>
         <mrow><mo>(</mo>
            <mrow>
               <mn>6</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn>
            </mrow>
         <mo>)</mo></mrow>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>

c) <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mrow><mo>(</mo>
            <mrow>
               <mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn>
            </mrow>
         <mo>)</mo></mrow>
         <mrow><mo>(</mo>
            <mrow>
               <mn>6</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn>
            </mrow>
         <mo>)</mo></mrow>
         <mo>=</mo><mn>0</mn>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>si, et seulement si : <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>=</mo><mn>0</mn>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>ou <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mn>6</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>=</mo><mn>0</mn>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>
Soit : <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>x</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mfrac>
            <mn>1</mn>
            <mn>2</mn>
         </mfrac>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>ou <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>x</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mfrac>
            <mn>1</mn>
            <mn>6</mn>
         </mfrac>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>
<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <msub>
            <mi>S</mi>
            <mi>E</mi>
         </msub>
         <mo>=</mo><mrow><mo>{</mo> <mrow>
            <mo>-</mo><mfrac>
               <mn>1</mn>
               <mn>2</mn>
            </mfrac>
            <mo>;</mo><mo>-</mo><mfrac>
               <mn>1</mn>
               <mn>6</mn>
            </mfrac>
            
         </mrow> <mo>}</mo></mrow>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>


II. Inquations
<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mn>5</mn><mi>x</mi><mo>&ge;</mo><mn>10</mn>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>						<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mo>-</mo><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>16</mn><mo>&le;</mo><mn>5</mn><mi>x</mi>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>
<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mn>3</mn><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>5</mn><mo>&amp;lt;</mo><mfrac>
            <mrow>
               <mi>x</mi><mo>+</mo><mn>7</mn>
            </mrow>
            <mn>2</mn>
         </mfrac>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>					<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mfrac>
            <mn>1</mn>
            <mn>2</mn>
         </mfrac>
         <mi>x</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>&gt;</mo><mfrac>
            <mrow>
               <mn>3</mn><mi>x</mi>
            </mrow>
            <mn>7</mn>
         </mfrac>
         <mo>-</mo><mn>8</mn>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>


III. Trigonomtrie
1) Quelques formules
<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mo>cos</mo><mover accent='true'>
            <mrow>
               <mi>R</mi><mi>S</mi><mi>T</mi>
            </mrow>
            <mo stretchy='true'>&Hat;</mo>
         </mover>
         <mo>=</mo><mfrac>
            <mn>7</mn>
            <mn>8</mn>
         </mfrac>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>				<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mo>sin</mo><mover accent='true'>
            <mrow>
               <mi>B</mi><mi>E</mi><mi>N</mi>
            </mrow>
            <mo stretchy='true'>&Hat;</mo>
         </mover>
         <mo>=</mo><mn>7</mn><mo>&div;</mo><mn>9</mn>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>
<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mo>tan</mo><mrow><mo>(</mo>
            <mrow>
               <mover accent='true'>
                  <mrow>
                     <mi>x</mi><mi>O</mi><mi>y</mi>
                  </mrow>
                  <mo stretchy='true'>&Hat;</mo>
               </mover>
               
            </mrow>
         <mo>)</mo></mrow>
         <mo>=</mo><mfrac>
            <mrow>
               <msqrt>
                  <mrow>
                     <mn>15</mn>
                  </mrow>
               </msqrt>
               
            </mrow>
            <mn>7</mn>
         </mfrac>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>			<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mn>90</mn><mi>&deg;</mi><mo>=</mo><mfrac>
            <mi>&pi;</mi>
            <mn>2</mn>
         </mfrac>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>
<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mn>45</mn><mo>=</mo><mn>90</mn><mo>&div;</mo><mn>2</mn>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>donc : <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mn>45</mn><mi>&deg;</mi><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo>
            <mrow>
               <mfrac>
                  <mi>&pi;</mi>
                  <mn>2</mn>
               </mfrac>
               
            </mrow>
         <mo>)</mo></mrow>
         <mo>&div;</mo><mn>2</mn><mo>=</mo><mfrac>
            <mrow>
               <mfrac>
                  <mi>&pi;</mi>
                  <mn>2</mn>
               </mfrac>
               
            </mrow>
            <mn>2</mn>
         </mfrac>
         <mo>=</mo><mfrac>
            <mi>&pi;</mi>
            <mn>2</mn>
         </mfrac>
         <mo>&times;</mo><mfrac>
            <mn>1</mn>
            <mn>2</mn>
         </mfrac>
         <mo>=</mo><mfrac>
            <mi>&pi;</mi>
            <mn>4</mn>
         </mfrac>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>

2) Vrai ou faux ?
<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mo>sin</mo><mn>70<mo>,</mo>72</mn><mi>&deg;</mi><mo>=</mo><mo>sin</mo><mn>40</mn><mi>&deg;</mi><mo>+</mo><mo>sin</mo><mn>30</mn><mi>&deg;</mi>
      </mrow>
   </semantics>
</math>		<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mo>cos</mo><mrow><mo>(</mo>
            <mrow>
               <mn>68</mn><mi>&deg;</mi>
            </mrow>
         <mo>)</mo></mrow>
         <mo>=</mo><mn>2</mn><mo>&times;</mo><mo>cos</mo><mrow><mo>(</mo>
            <mrow>
               <mn>34</mn><mi>&deg;</mi>
            </mrow>
         <mo>)</mo></mrow>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>
Pour tout angle aigu <math>
   <semantics>
      <mi>a</mi>
      
   </semantics>
</math> : <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <msup>
            <mrow>
               <mrow><mo>(</mo>
                  <mrow>
                     <mo>cos</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mo>sin</mo><mi>a</mi>
                  </mrow>
               <mo>)</mo></mrow>
               
            </mrow>
            <mn>2</mn>
         </msup>
         <mo>=</mo><mn>1</mn>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>				<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mrow><mo>(</mo>
            <mrow>
               <mo>tan</mo><mi>a</mi>
            </mrow>
         <mo>)</mo></mrow>
         <mo>&times;</mo><mrow><mo>(</mo>
            <mrow>
               <mi>s</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mi>a</mi>
            </mrow>
         <mo>)</mo></mrow>
         <mo>=</mo><mo>cos</mo><mi>a</mi>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>

3) Quel est le primtre du rectangle<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>E</mi><mi>F</mi><mi>G</mi><mi>H</mi>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>?
a) <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mn>8</mn><mo>sin</mo><mn>35</mn><mi>&deg;</mi><mo>+</mo><mn>8</mn><mo>cos</mo><mn>35</mn><mi>&deg;</mi>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>					b) <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mn>8</mn><mo>&times;</mo><mo>sin</mo><mn>35</mn><mi>&deg;</mi><mo>&times;</mo><mo>cos</mo><mn>35</mn><mi>&deg;</mi>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>
c) <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mn>16</mn><mrow><mo>(</mo>
            <mrow>
               <mo>sin</mo><mn>35</mn><mi>&deg;</mi><mo>+</mo><mo>cos</mo><mn>35</mn><mi>&deg;</mi>
            </mrow>
         <mo>)</mo></mrow>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>					d) <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mn>64</mn><mo>&times;</mo><mo>sin</mo><mn>35</mn><mi>&deg;</mi><mo>&times;</mo><mo>cos</mo><mn>35</mn><mi>&deg;</mi>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>

4) <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mrow><mo>[</mo> <mrow>
            <mi>J</mi><mi>K</mi>
         </mrow> <mo>]</mo></mrow>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>est un diamtre du demi-cercle<math>
   <semantics>
      <mi>&Cscr;</mi>
      
   </semantics>
</math>.
<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>I</mi><mo>&isinv;</mo><mi>&Cscr;</mi>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>	<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>J</mi><mi>K</mi><mo>=</mo><mn>5</mn>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>cm	<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>I</mi><mi>J</mi><mo>=</mo><mn>1<mo>,</mo>4</mn>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>cm
Calculer la mesure des angles <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mover accent='true'>
            <mrow>
               <mi>I</mi><mi>J</mi><mi>K</mi>
            </mrow>
            <mo stretchy='true'>&Hat;</mo>
         </mover>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math> et  <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mover accent='true'>
            <mrow>
               <mi>J</mi><mi>K</mi><mi>I</mi>
            </mrow>
            <mo stretchy='true'>&Hat;</mo>
         </mover>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>, puis la valeur exacte de<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>I</mi><mi>K</mi>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>.

Solution :
- <math>
   <semantics>
      <mi>I</mi>
      
   </semantics>
</math> est sur le cercle de diamtre<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mrow><mo>[</mo> <mrow>
            <mi>J</mi><mi>K</mi>
         </mrow> <mo>]</mo></mrow>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>, donc le triangle <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>I</mi><mi>J</mi><mi>K</mi>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math> est rectangle en<math>
   <semantics>
      <mi>I</mi>
      
   </semantics>
</math>. Et, par consquent : <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mo>cos</mo><mover accent='true'>
            <mrow>
               <mi>I</mi><mi>J</mi><mi>K</mi>
            </mrow>
            <mo stretchy='true'>&Hat;</mo>
         </mover>
         <mo>=</mo><mfrac>
            <mrow>
               <mi>I</mi><mi>J</mi>
            </mrow>
            <mrow>
               <mi>J</mi><mi>K</mi>
            </mrow>
         </mfrac>
         <mo>=</mo><mfrac>
            <mrow>
               <mn>1<mo>,</mo>4</mn>
            </mrow>
            <mn>5</mn>
         </mfrac>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>
Arrondi au dixime, on trouve : <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mover accent='true'>
            <mi>J</mi>
            <mo stretchy='true'>&Hat;</mo>
         </mover>
         <mo>&approx;</mo><mn>74</mn><mi>&deg;</mi>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>


- <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mover accent='true'>
            <mi>J</mi>
            <mo stretchy='true'>&Hat;</mo>
         </mover>
         <mo>+</mo><mover accent='true'>
            <mi>K</mi>
            <mo stretchy='true'>&Hat;</mo>
         </mover>
         <mo>=</mo><mn>90</mn><mi>&deg;</mi>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>
Soit : <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mover accent='true'>
            <mi>K</mi>
            <mo stretchy='true'>&Hat;</mo>
         </mover>
         <mo>=</mo><mn>90</mn><mi>&deg;</mi><mo>-</mo><mover accent='true'>
            <mi>J</mi>
            <mo stretchy='true'>&Hat;</mo>
         </mover>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>
Donc, arrondi au dixime : <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mover accent='true'>
            <mi>K</mi>
            <mo stretchy='true'>&Hat;</mo>
         </mover>
         <mo>&approx;</mo><mn>16</mn><mi>&deg;</mi>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>

- On applique le thorme de Pythagore : <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>I</mi><msup>
            <mi>J</mi>
            <mn>2</mn>
         </msup>
         <mo>+</mo><mi>I</mi><msup>
            <mi>K</mi>
            <mn>2</mn>
         </msup>
         <mo>=</mo><mi>J</mi><msup>
            <mi>K</mi>
            <mn>2</mn>
         </msup>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>
D'o : <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>I</mi><msup>
            <mi>K</mi>
            <mn>2</mn>
         </msup>
         <mo>=</mo><msup>
            <mn>5</mn>
            <mn>2</mn>
         </msup>
         <mo>-</mo><msup>
            <mrow>
               <mn>1<mo>,</mo>4</mn>
            </mrow>
            <mn>2</mn>
         </msup>
         <mo>=</mo><mn>23<mo>,</mo>04</mn>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>
<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>I</mi><mi>K</mi><mo>=</mo><msqrt>
            <mrow>
               <mn>23<mo>,</mo>04</mn>
            </mrow>
         </msqrt>
         <mo>=</mo><mn>4<mo>,</mo>8</mn>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>cm

5) <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <msup>
            <mrow>
               <mo>cos</mo>
            </mrow>
            <mn>2</mn>
         </msup>
         <mi>x</mi><mo>+</mo><msup>
            <mrow>
               <mo>sin</mo>
            </mrow>
            <mn>2</mn>
         </msup>
         <mi>x</mi><mo>=</mo><mn>1</mn>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>
Si <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mo>cos</mo><mi>x</mi><mo>=</mo><mfrac>
            <mn>4</mn>
            <mn>5</mn>
         </mfrac>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math> alors : <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <msup>
            <mrow>
               <mo>sin</mo>
            </mrow>
            <mn>2</mn>
         </msup>
         <mi>x</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><msup>
            <mrow>
               <mrow><mo>(</mo>
                  <mrow>
                     <mfrac>
                        <mn>4</mn>
                        <mn>5</mn>
                     </mfrac>
                     
                  </mrow>
               <mo>)</mo></mrow>
               
            </mrow>
            <mn>2</mn>
         </msup>
         <mo>=</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mfrac>
            <mrow>
               <mn>16</mn>
            </mrow>
            <mrow>
               <mn>25</mn>
            </mrow>
         </mfrac>
         <mo>=</mo><mfrac>
            <mn>9</mn>
            <mrow>
               <mn>25</mn>
            </mrow>
         </mfrac>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>
Et enfin: <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mo>sin</mo><mi>x</mi><mo>=</mo><msqrt>
            <mrow>
               <mfrac>
                  <mn>9</mn>
                  <mrow>
                     <mn>25</mn>
                  </mrow>
               </mfrac>
               
            </mrow>
         </msqrt>
         <mo>=</mo><mfrac>
            <mrow>
               <msqrt>
                  <mn>9</mn>
               </msqrt>
               
            </mrow>
            <mrow>
               <msqrt>
                  <mrow>
                     <mn>25</mn>
                  </mrow>
               </msqrt>
               
            </mrow>
         </mfrac>
         <mo>=</mo><mfrac>
            <mn>3</mn>
            <mn>5</mn>
         </mfrac>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>
<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mo>tan</mo><mi>x</mi><mo>=</mo><mfrac>
            <mrow>
               <mo>sin</mo><mi>x</mi>
            </mrow>
            <mrow>
               <mo>cos</mo><mi>x</mi>
            </mrow>
         </mfrac>
         <mo>=</mo><mfrac>
            <mrow>
               <mfrac>
                  <mn>3</mn>
                  <mn>5</mn>
               </mfrac>
               
            </mrow>
            <mrow>
               <mfrac>
                  <mn>4</mn>
                  <mn>5</mn>
               </mfrac>
               
            </mrow>
         </mfrac>
         <mo>=</mo><mfrac>
            <mn>3</mn>
            <mn>5</mn>
         </mfrac>
         <mo>&div;</mo><mfrac>
            <mn>4</mn>
            <mn>5</mn>
         </mfrac>
         <mo>=</mo><mfrac>
            <mn>3</mn>
            <mn>5</mn>
         </mfrac>
         <mo>&times;</mo><mfrac>
            <mn>5</mn>
            <mn>4</mn>
         </mfrac>
         <mo>=</mo><mfrac>
            <mn>3</mn>
            <mn>4</mn>
         </mfrac>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>

6) <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <msup>
            <mrow>
               <mrow><mo>(</mo>
                  <mrow>
                     <mo>cos</mo><mi>x</mi>
                  </mrow>
               <mo>)</mo></mrow>
               
            </mrow>
            <mn>2</mn>
         </msup>
         <mo>+</mo><msup>
            <mrow>
               <mrow><mo>(</mo>
                  <mrow>
                     <mo>sin</mo><mi>x</mi>
                  </mrow>
               <mo>)</mo></mrow>
               
            </mrow>
            <mn>2</mn>
         </msup>
         <mo>=</mo><msup>
            <mrow>
               <mrow><mo>(</mo>
                  <mrow>
                     <mfrac>
                        <mrow>
                           <mi>A</mi><mi>B</mi>
                        </mrow>
                        <mrow>
                           <mi>B</mi><mi>C</mi>
                        </mrow>
                     </mfrac>
                     
                  </mrow>
               <mo>)</mo></mrow>
               
            </mrow>
            <mn>2</mn>
         </msup>
         <mo>+</mo><msup>
            <mrow>
               <mrow><mo>(</mo>
                  <mrow>
                     <mfrac>
                        <mrow>
                           <mi>A</mi><mi>C</mi>
                        </mrow>
                        <mrow>
                           <mi>B</mi><mi>C</mi>
                        </mrow>
                     </mfrac>
                     
                  </mrow>
               <mo>)</mo></mrow>
               
            </mrow>
            <mn>2</mn>
         </msup>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>
<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <msup>
            <mrow>
               <mrow><mo>(</mo>
                  <mrow>
                     <mo>cos</mo><mi>x</mi>
                  </mrow>
               <mo>)</mo></mrow>
               
            </mrow>
            <mn>2</mn>
         </msup>
         <mo>+</mo><msup>
            <mrow>
               <mrow><mo>(</mo>
                  <mrow>
                     <mo>sin</mo><mi>x</mi>
                  </mrow>
               <mo>)</mo></mrow>
               
            </mrow>
            <mn>2</mn>
         </msup>
         <mo>=</mo><mfrac>
            <mrow>
               <mi>A</mi><msup>
                  <mi>B</mi>
                  <mn>2</mn>
               </msup>
               
            </mrow>
            <mrow>
               <mi>B</mi><msup>
                  <mi>C</mi>
                  <mn>2</mn>
               </msup>
               
            </mrow>
         </mfrac>
         <mo>+</mo><mfrac>
            <mrow>
               <mi>A</mi><msup>
                  <mi>C</mi>
                  <mn>2</mn>
               </msup>
               
            </mrow>
            <mrow>
               <mi>B</mi><msup>
                  <mi>C</mi>
                  <mn>2</mn>
               </msup>
               
            </mrow>
         </mfrac>
         <mo>=</mo><mfrac>
            <mrow>
               <mi>A</mi><msup>
                  <mi>B</mi>
                  <mn>2</mn>
               </msup>
               <mo>+</mo><mi>A</mi><msup>
                  <mi>C</mi>
                  <mn>2</mn>
               </msup>
               
            </mrow>
            <mrow>
               <mi>B</mi><msup>
                  <mi>C</mi>
                  <mn>2</mn>
               </msup>
               
            </mrow>
         </mfrac>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>
Le triangle <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>A</mi><mi>B</mi><mi>C</mi>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math> tant rectangle en <math>
   <semantics>
      <mi>A</mi>
      
   </semantics>
</math> : <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <msup>
            <mrow>
               <mrow><mo>(</mo>
                  <mrow>
                     <mo>cos</mo><mi>x</mi>
                  </mrow>
               <mo>)</mo></mrow>
               
            </mrow>
            <mn>2</mn>
         </msup>
         <mo>+</mo><msup>
            <mrow>
               <mrow><mo>(</mo>
                  <mrow>
                     <mo>sin</mo><mi>x</mi>
                  </mrow>
               <mo>)</mo></mrow>
               
            </mrow>
            <mn>2</mn>
         </msup>
         <mo>=</mo><mn>1</mn>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>

IV. Gomtrie
1) Dans un repre<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mrow><mo>(</mo>
            <mrow>
               <mi>O</mi><mo>,</mo><mi>I</mi><mo>,</mo><mi>J</mi>
            </mrow>
         <mo>)</mo></mrow>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>, on donne les points<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>T</mi><mrow><mo>(</mo>
            <mrow>
               <mn>4</mn><mo>;</mo><mn>6</mn>
            </mrow>
         <mo>)</mo></mrow>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>, <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>U</mi><mrow><mo>(</mo>
            <mrow>
               <mo>-</mo><mn>3</mn><mo>;</mo><mn>4</mn>
            </mrow>
         <mo>)</mo></mrow>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>, <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>V</mi><mrow><mo>(</mo>
            <mrow>
               <mo>-</mo><mn>2</mn><mo>;</mo><mo>-</mo><mn>1</mn>
            </mrow>
         <mo>)</mo></mrow>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math> et<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>W</mi><mrow><mo>(</mo>
            <mrow>
               <mn>5</mn><mo>;</mo><mn>1</mn>
            </mrow>
         <mo>)</mo></mrow>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>. Le quadrilatre <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>T</mi><mi>U</mi><mi>V</mi><mi>W</mi>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math> est-il un paralllogramme ?
Soit <math>
   <semantics>
      <mi>A</mi>
      
   </semantics>
</math> le milieu du segment <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mrow><mo>[</mo> <mrow>
            <mi>T</mi><mi>V</mi>
         </mrow> <mo>]</mo></mrow>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math> et <math>
   <semantics>
      <mi>B</mi>
      
   </semantics>
</math> celui de<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mrow><mo>[</mo> <mrow>
            <mi>U</mi><mi>W</mi>
         </mrow> <mo>]</mo></mrow>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>. On a :
<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mrow><mo>{</mo> <mtable columnalign='left'>
            <mtr>
               <mtd>
                  <msub>
                     <mi>x</mi>
                     <mi>A</mi>
                  </msub>
                  <mo>=</mo><mfrac>
                     <mrow>
                        <msub>
                           <mi>x</mi>
                           <mi>T</mi>
                        </msub>
                        <mo>+</mo><msub>
                           <mi>x</mi>
                           <mi>V</mi>
                        </msub>
                        
                     </mrow>
                     <mn>2</mn>
                  </mfrac>
                  <mo>=</mo><mfrac>
                     <mrow>
                        <mn>4</mn><mo>-</mo><mn>2</mn>
                     </mrow>
                     <mn>2</mn>
                  </mfrac>
                  <mo>=</mo><mn>1</mn>
               </mtd>
            </mtr>
            <mtr>
               <mtd>
                  <msub>
                     <mi>y</mi>
                     <mi>A</mi>
                  </msub>
                  <mo>=</mo><mfrac>
                     <mrow>
                        <msub>
                           <mi>y</mi>
                           <mi>T</mi>
                        </msub>
                        <mo>+</mo><msub>
                           <mi>y</mi>
                           <mi>V</mi>
                        </msub>
                        
                     </mrow>
                     <mn>2</mn>
                  </mfrac>
                  <mo>=</mo><mfrac>
                     <mrow>
                        <mn>6</mn><mo>-</mo><mn>1</mn>
                     </mrow>
                     <mn>2</mn>
                  </mfrac>
                  <mo>=</mo><mn>2<mo>,</mo>5</mn>
               </mtd>
            </mtr>
         </mtable>
          </mrow>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>
De mme, on trouve<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>B</mi><mrow><mo>(</mo>
            <mrow>
               <mn>1</mn><mo>;</mo><mn>2<mo>,</mo>5</mn>
            </mrow>
         <mo>)</mo></mrow>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>, donc <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>T</mi><mi>U</mi><mi>V</mi><mi>W</mi>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math> est bien un paralllogramme.


2) Dans ce repre, on donne les points<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>A</mi><mrow><mo>(</mo>
            <mrow>
               <mn>5</mn><mo>;</mo><mn>1</mn>
            </mrow>
         <mo>)</mo></mrow>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>, <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>B</mi><mrow><mo>(</mo>
            <mrow>
               <mn>2</mn><mo>;</mo><mo>-</mo><mn>1</mn>
            </mrow>
         <mo>)</mo></mrow>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math> et<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>A</mi><msub>
            <mtext>&thinsp;</mtext>
            <mn>1</mn>
         </msub>
         <mrow><mo>(</mo>
            <mrow>
               <mo>-</mo><mn>3</mn><mo>;</mo><mn>4</mn>
            </mrow>
         <mo>)</mo></mrow>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>.
Dterminer les coordonnes du point <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>B</mi><msub>
            <mtext>&thinsp;</mtext>
            <mn>1</mn>
         </msub>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math> pour que <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>A</mi><mi>B</mi><mi>A</mi><msub>
            <mtext>&thinsp;</mtext>
            <mn>1</mn>
         </msub>
         <mi>B</mi><msub>
            <mtext>&thinsp;</mtext>
            <mn>1</mn>
         </msub>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math> soit un paralllogramme.
On doit avoir, par exemple : <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mover accent='true'>
            <mrow>
               <mi>A</mi><mi>B</mi>
            </mrow>
            <mo stretchy='true'>&xrarr;</mo>
         </mover>
         <mo>=</mo><mover accent='true'>
            <mrow>
               <mi>B</mi><msub>
                  <mtext>&thinsp;</mtext>
                  <mn>1</mn>
               </msub>
               <mi>A</mi><msub>
                  <mtext>&thinsp;</mtext>
                  <mn>1</mn>
               </msub>
               
            </mrow>
            <mo stretchy='true'>&xrarr;</mo>
         </mover>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>
Soit <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mrow><mo>(</mo>
            <mrow>
               <mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi>
            </mrow>
         <mo>)</mo></mrow>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math> les coordonnes du point<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>B</mi><msub>
            <mtext>&thinsp;</mtext>
            <mn>1</mn>
         </msub>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>. Il faut rsoudre le systme :
<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mrow><mo>{</mo> <mtable columnalign='left'>
            <mtr>
               <mtd>
                  <mi>x</mi><mo>+</mo><mn>3</mn><mo>=</mo><mn>3</mn>
               </mtd>
            </mtr>
            <mtr>
               <mtd>
                  <mi>y</mi><mo>-</mo><mn>4</mn><mo>=</mo><mn>2</mn>
               </mtd>
            </mtr>
         </mtable>
          </mrow>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>
On trouve <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>x</mi><mo>=</mo><mn>0</mn>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math> et<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>y</mi><mo>=</mo><mn>6</mn>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>.

3) Si <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mi>A</mi><mi>B</mi><mi>C</mi><mi>D</mi>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math> est un rectangle, alors <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mrow><mo>(</mo>
            <mrow>
               <mi>A</mi><mi>B</mi>
            </mrow>
         <mo>)</mo></mrow>
         <mo>&perp;</mo><mrow><mo>(</mo>
            <mrow>
               <mi>A</mi><mi>D</mi>
            </mrow>
         <mo>)</mo></mrow>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math> et <math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mrow><mo>(</mo>
            <mrow>
               <mi>A</mi><mi>D</mi>
            </mrow>
         <mo>)</mo></mrow>
         <mo>&par;</mo><mrow><mo>(</mo>
            <mrow>
               <mi>B</mi><mi>C</mi>
            </mrow>
         <mo>)</mo></mrow>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>

V. Racines carres
<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <msqrt>
            <mn>8</mn>
         </msqrt>
         <mo>&times;</mo><msqrt>
            <mn>2</mn>
         </msqrt>
         <mo>=</mo><msqrt>
            <mrow>
               <mn>16</mn>
            </mrow>
         </msqrt>
         <mo>=</mo><msqrt>
            <mrow>
               <msup>
                  <mn>4</mn>
                  <mn>2</mn>
               </msup>
               
            </mrow>
         </msqrt>
         <mo>=</mo><mn>4</mn>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>
<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <msqrt>
            <mrow>
               <mn>2<mo>,</mo>5</mn>
            </mrow>
         </msqrt>
         <mo>&times;</mo><msqrt>
            <mrow>
               <mn>10</mn>
            </mrow>
         </msqrt>
         <mo>=</mo><msqrt>
            <mrow>
               <mn>25</mn>
            </mrow>
         </msqrt>
         <mo>=</mo><mn>5</mn>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>
<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <mfrac>
            <mrow>
               <msqrt>
                  <mrow>
                     <mn>28</mn>
                  </mrow>
               </msqrt>
               
            </mrow>
            <mrow>
               <msqrt>
                  <mn>7</mn>
               </msqrt>
               
            </mrow>
         </mfrac>
         <mo>=</mo><msqrt>
            <mrow>
               <mfrac>
                  <mrow>
                     <mn>28</mn>
                  </mrow>
                  <mn>7</mn>
               </mfrac>
               
            </mrow>
         </msqrt>
         <mo>=</mo><msqrt>
            <mn>4</mn>
         </msqrt>
         <mo>=</mo><mn>2</mn>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>
<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <msqrt>
            <mrow>
               <mfrac>
                  <mn>3</mn>
                  <mn>2</mn>
               </mfrac>
               
            </mrow>
         </msqrt>
         <mo>&times;</mo><msqrt>
            <mrow>
               <mfrac>
                  <mn>8</mn>
                  <mn>3</mn>
               </mfrac>
               
            </mrow>
         </msqrt>
         <mo>=</mo><msqrt>
            <mrow>
               <mfrac>
                  <mrow>
                     <mn>3</mn><mo>&times;</mo><mn>8</mn>
                  </mrow>
                  <mrow>
                     <mn>2</mn><mo>&times;</mo><mn>3</mn>
                  </mrow>
               </mfrac>
               
            </mrow>
         </msqrt>
         <mo>=</mo><msqrt>
            <mrow>
               <mfrac>
                  <mn>8</mn>
                  <mn>2</mn>
               </mfrac>
               
            </mrow>
         </msqrt>
         <mo>=</mo><msqrt>
            <mn>4</mn>
         </msqrt>
         <mo>=</mo><mn>2</mn>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>
<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <msqrt>
            <mrow>
               <msup>
                  <mn>3</mn>
                  <mn>2</mn>
               </msup>
               <mo>&times;</mo><mn>11</mn>
            </mrow>
         </msqrt>
         <mo>=</mo><mn>3</mn><msqrt>
            <mrow>
               <mn>11</mn>
            </mrow>
         </msqrt>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>
<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <msqrt>
            <mrow>
               <msup>
                  <mn>5</mn>
                  <mn>3</mn>
               </msup>
               <mo>&times;</mo><mn>15</mn>
            </mrow>
         </msqrt>
         <mo>=</mo><msqrt>
            <mrow>
               <msup>
                  <mn>5</mn>
                  <mn>3</mn>
               </msup>
               <mo>&times;</mo><mn>5</mn><mo>&times;</mo><mn>3</mn>
            </mrow>
         </msqrt>
         <mo>=</mo><msqrt>
            <mrow>
               <msup>
                  <mn>5</mn>
                  <mrow>
                     <mn>3</mn><mo>+</mo><mn>1</mn>
                  </mrow>
               </msup>
               <mo>&times;</mo><mn>3</mn>
            </mrow>
         </msqrt>
         <mo>=</mo><msqrt>
            <mrow>
               <msup>
                  <mn>5</mn>
                  <mn>4</mn>
               </msup>
               <mo>&times;</mo><mn>3</mn>
            </mrow>
         </msqrt>
         <mo>=</mo><mn>25</mn><msqrt>
            <mn>3</mn>
         </msqrt>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>
<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <msqrt>
            <mrow>
               <mn>45</mn>
            </mrow>
         </msqrt>
         <mo>=</mo><msqrt>
            <mrow>
               <mi>&ctdot;</mi><mo>&times;</mo><mn>5</mn>
            </mrow>
         </msqrt>
         <mo>=</mo><msqrt>
            <mi>&ctdot;</mi>
         </msqrt>
         <mo>&times;</mo><msqrt>
            <mn>5</mn>
         </msqrt>
         <mo>=</mo><mi>&ctdot;</mi><mo>&times;</mo><msqrt>
            <mn>5</mn>
         </msqrt>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>
<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <msqrt>
            <mrow>
               <mn>16</mn>
            </mrow>
         </msqrt>
         <mo>+</mo><msqrt>
            <mn>9</mn>
         </msqrt>
         <mo>&ne;</mo><msqrt>
            <mrow>
               <mn>16</mn><mo>+</mo><mn>9</mn>
            </mrow>
         </msqrt>
         
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>
<math>
   <semantics>
      <mrow>
         <msqrt>
            <mn>2</mn>
         </msqrt>
         <mo>&approx;</mo><mn>1<mo>,</mo>414</mn><mtext>&ThickSpace;</mtext><mn>21</mn>
      </mrow>
      
   </semantics>
</math>
